\magnification=\magstep1
\nopagenumbers
\voffset=-.55truecm \hoffset=-0.4truecm
\vsize=25truecm
\baselineskip=12pt \parskip=5pt
\hyphenpenalty=5000 \pretolerance=200
\hyphenation{Eins-element andern-falls so-ge-nannte Nil-radikal 
Endo-morph-ismen Prim-fak-tor-zer-leg-ung}

\mathsurround=2pt

\let\cur=\cal
%\def\n{\underline{n}}
\def\Nil{\hbox{\rm Nil}}

\font\smallrm=cmr7

% define whole mathfont family to get one lousy symbol 
\font\tennsym=msam10
\font\sevennsym=msam7
\newfam\nsymfam \def\nsym{\fam\nsymfam\tennsym}
\textfont\nsymfam=\tennsym
\scriptfont\nsymfam=\sevennsym
\mathchardef\nt="1845  % "normal subgroup" symbol (msam "45)
% blackboard bold
\font\tenbb=msbm10
\font\sevenbb=msbm7
\newfam\bbfam \def\bb{\fam\bbfam\tenbb}
\textfont\bbfam=\tenbb
\scriptfont\bbfam=\sevenbb

\font\tenbb=msbm10         % blackboard bold
\font\sevenbb=msbm7
\newfam\bbfam \def\bb{\fam\bbfam\tenbb}
\textfont\bbfam=\tenbb
\scriptfont\bbfam=\sevenbb

\def\natn{{\bb N}} \def\intz{{\bb Z}} \def\realr{{\bb R}}
\def\id{\hbox{{\rm id}}}
\def\ker{\hbox{{\rm ker}}}
\def\ggT{\hbox{{\rm ggT}}}
\def\kgV{\hbox{{\rm kgV}}}
\def\Im{\hbox{{\rm Im}}}
\def\mspace{\mskip10mu plus 5 mu}
\def\glq{\hbox{,\kern-.7pt,\kern.3pt}}
\def\grq{``}
\def\divides{\mathrel\big\vert}

\bigskipamount=4pt plus 1 pt minus 1 pt

\line{\bf Algebra \"Ubungen 4 \hfill {\rm WS 04/05}}
\bigskip \medskip

\item{\bf E.} 
Sei $f\in\intz[x]$ ein normiertes Polynom. Wenn
f\"ur eine Primzahl $p$ das Polynom $\bar f$ in $\intz_p[x]$ (das
aus $f$ hervorgeht, indem man die Koeffizienten modulo $p$ nimmt),
irreduzibel ist, dann ist $f$ in $\intz[x]$ irreduzibel.
Geben Sie ein Beispiel, da\ss\ das f\"ur ein nicht normiertes
Polynom nicht gelten mu\ss.
\bigskip

\item{\bf 34.}
Sei $(G,+)$ eine kommutative Gruppe. Dann bilden die Endomorphismen
von $G$, 
${\rm End(G)}= \{\varphi\colon G\rightarrow G\mid
\varphi(g+h)=\varphi(g)+\varphi(h)\}$, einen Ring mit Eins 
$({\rm End(G)},+,\circ)$ bzgl.\ elementweiser Addition
$(\varphi+\psi)(g)=\varphi(g)+\psi(g)$ und der Verkn\"upfung von
Funktionen als Multiplikation
$(\varphi\circ\psi)(g)=\varphi(\psi(g))$.
\bigskip

\item{\bf 35.} Sei $R$ ein Ring, $\chi(R)=n\in \natn$ und $m\in\natn$
ein Vielfaches von $n$. $S$ sei die Menge $\intz_m\times R$ mit
der Addition $(\bar k,r)+(\bar l,s)=(\overline{k+l},\, r+s)$ und der
Multiplikation
$(\bar k,r)\cdot (\bar l,s)=(\overline{k\cdot l},\,
ks + lr +r\cdot s)$,
dann gilt:\smallskip
\item{}$S$ ist Ring mit Eins, $\chi(S)=m$, und wenn $R$ kommutativ ist,
dann auch $S$. Ausserdem enth\"alt $S$ ein Ideal, das als Ring
isomorph zu $R$ ist.
\bigskip

\item{\bf 36.} 
Sei $R$ ein In\-teg\-ri\-t\"ats\-be\-reich. Dann gilt
$R=\bigcap_{P{\rm\ Prim}} R_P = \bigcap_{M{\rm\ maximal}} R_M$
(Die Lokalisierungen $R_P$ sind als Unterringe des Quotientenk\"orpers
von $R$ zu denken.)
\bigskip

\item{\bf 37.}
Sei $R$ ein ZPE-Ring mit Quo\-tient\-en\-k\"or\-per $K$ und $p\in R$
prim. F\"ur $a\in R\setminus\{0\}$ sei $v_p(a)\in\natn_0$ der 
Exponent von $p$ in der Primfaktorzerlegung von $a$. Zeigen Sie,
da\ss\ $v_p$ zu einer surjektiven Funktion 
$v\colon K\setminus\{0\}\rightarrow \intz$ mit den Eigenschaften
\itemitem{(i)} $v(ab)=v(a)+v(b)$
\itemitem{(ii)} $v(a+b)\ge \min(v(a),v(b))$\par
fortgesetzt werden kann.
\bigskip

\item{\bf 38.}
Sei $K$ ein K\"orper und $v\colon K\setminus\{0\}\rightarrow \intz$
eine Funktion mit den Eigenschaften i, ii aus Bsp.\ 37. Dann gilt
f\"ur $a,\, b\in K\setminus\{0\}$:
$$v(a)\ne v(b)\Longrightarrow v(a+b) = \min(v(a),v(b))$$
Wenn man $v(0)=\infty$ definiert, dann gilt diese Beziehung (sowie
auch Eigenschaften i, ii) f\"ur alle $a,\, b\in K$.
\bigskip

\item{\bf 39.}
Sei $K$ ein K\"orper und $v\colon K\setminus\{0\}\rightarrow \intz$
eine Funktion mit den Eigenschaften i, ii aus Bsp.\ 37. Sei
$c\in \realr$ mit $0<c<1$ fix. (In Bsp.\ 37 mit $R=\intz$ w\"urde man
\"ublicherweise $c=1/p$ w\"ahlen.) Definieren wir f\"ur $a\in K$: 
$\left|a\right| = c^{v(a)}$, dann ist $d(a,b)=\left|a-b\right| $ eine
Metrik auf $K$.
\bigskip

\item{\bf 40.}
F\"ur $1\le i\le n$ sei $R_i$ ein Ring mit Eins. Dann ist jedes
Ideal von $R_1\times\ldots\times R_n$ der Form
$I_1\times\ldots\times I_n=\{(r_1,\ldots,r_n)\mid r_j\in I_j\}$,
wobei $I_j$ ein Ideal von $R_j$ ist.
\bigskip


\item{\bf 41.} %ws04: bl4
Sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins, $I$ ein Ideal von $R$ und
$I[x]$ das Ideal von $R[x]$ bestehend aus jenen Polynomen, deren
Koeffizienten alle in $I$ liegen.
%
\itemitem{(i)}Geben Sie einen Isomorphismus an
$\varphi\colon (R/I)[x]\rightarrow R[x]/I[x]$.
\itemitem{(ii)} $\psi\colon R[x]\rightarrow (R/I)[x]$, gegeben durch
$\psi(\sum_{k=0}^n a_k x^k) = \sum_{k=0}^n (a_k + I) x^k$, ist ein
Ringepimorphismus.
\bigskip


\bye



