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\hyphenation{Eins-element andern-falls so-ge-nannte Nil-radikal} 

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\let\cur=\cal
%\def\n{\underline{n}}
\def\Nil{\hbox{\rm Nil}}

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% define whole mathfont family to get one lousy symbol 
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\newfam\nsymfam \def\nsym{\fam\nsymfam\tennsym}
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\mathchardef\nt="1845  % "normal subgroup" symbol (msam "45)

% blackboard bold
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\scriptfont\bbfam=\sevenbb

\def\natn{{\bb N}} \def\intz{{\bb Z}}
\def\id{\hbox{{\rm id}}}
\def\ker{\hbox{{\rm ker}}}
\def\ggT{\hbox{{\rm ggT}}}
\def\kgV{\hbox{{\rm kgV}}}
\def\Im{\hbox{{\rm Im}}}
\def\mspace{\mskip10mu plus 5 mu}
\def\glq{\hbox{,\kern-.7pt,\kern.3pt}}
\def\grq{``}
\def\divides{\mathrel\big\vert}

\bigskipamount=4pt plus 1 pt minus 1 pt

\line{\bf Algebra \"Ubungen 3 \hfill {\rm WS 04/05}}
\bigskip \medskip


\item{\bf 25.} Sei $R$ ein Ring. F\"ur $A,\, B\subseteq R$ sei
$AB=\{a_1b_1+\ldots+a_nb_n\mid n\in\natn, a_i\in A, b_i\in B\}$
und $A+B=\{a+b\mid a\in A, b\in B\}$. Sei $a\in R$, und
$A,\,B,\,C\subseteq R$. Dann gilt (mit der Notation $\nt$ f\"ur 
\glq ist Ideal von``):
\itemitem{(i)} $A+(B+C)=(A+B)+C$
\itemitem{(ii)} $A(BC)=(AB)C$
\itemitem{(iii)}wenn $A\nt R$ und $B\nt R$, dann auch $A+B\nt R$ und $AB\nt R$
\itemitem{(iv)}wenn $A\nt R$ und $R$ ein Einselement hat, dann gilt $RA=AR=A$
\itemitem{(v)} $B$ bzgl.~$+$ abgeschlossen \ \ $\Longrightarrow$ \ \
$aB=\{a\cdot b\mid b\in B\}$ \ und \ $Ba=\{b\cdot a\mid b\in B\}$.
\bigskip

\item{\bf 26.} Sei $R$ ein Ring, und $A$, $B$, $B_1$, $\ldots$, $B_n$,
$C$ Teilmengen von $R$.
\hfill\break
Wenn $0\in B$ und $0\in C$, dann
$A(B+C)=AB+AC$ \ \ und \ \ $(B+C)A=BA+CA$.
\item{}
Etwas allgemeiner gilt: wenn $0\in B_i$ f\"ur $1\le i\le n$, dann
$$A(B_1+\ldots+B_n)=AB_1+\ldots+AB_n\quad\hbox{\rm\ und\ }\quad
(B_1+\ldots+B_n)A=B_1A+\ldots+B_nA.$$
\bigskip

\item{\bf 27.}
Geben Sie einen Isomorphismus an zwischen $M_n(R[x])$, dem Ring der
$n\times n$ Matrizen mir Eintragungen im Polynomring $R[x]$, und
$M_n(R)[x]$, dem Polynomring  in einer Unbestimmten mit Koeffizienten
in $M_n(R)$. (Hiebei ist $R$ ein kommutativer Ring mit Eins.)
\bigskip

\item{\bf 28.}
Seien $f,\,g$ und $h$ Polynome in $R[x]$ ($R$ ein
kommutativer Ring mit Eins), davon $f$ ein normiertes Polynom
(d.h.~mit Leitkoeffizient $1$) soda\ss $f\cdot g=h$.
Sei $S$ ein Unterring von $R$. Zeigen Sie: wenn $f$ und $h$ in $S[x]$,
dann auch $g\in S[x]$.
\bigskip

\item{\bf 29.} Sei $R$ ein Euklidischer Ring, dessen Rangfunktion
$\rho(ab)\ge\rho(a)$ (f\"ur $a,b\in R$ mit $ab\ne 0$) erf\"ullt.
Zeigen Sie: $u\in R$ ist Einheit genau dann, wenn $u$ minimalen
Rang hat (d.h.\ $\rho(u)=\min\{\rho(a)\mid a\in R\setminus\{0\}\}$).
\bigskip

\item{\bf 30.} Sei $D$ ein Integrit\"atsbereich und kein K\"orper,
dann ist $D[x]$ kein Hauptidealring. (Betrachten Sie das Ideal
jener Polynome, deren konstanter Term in $I$ liegt, $I$ ein
nichttriviales Ideal von $D$.)
\bigskip


\itemitem{\hbox{{\bf 31.}{\rm \ \ \  (i)}}}
Sei $I$ ein Ideal von $R$, dann ist $R/I\ne(0)$ und
nullteilerfrei genau dann, wenn $I\ne R$ und f\"ur alle $a,\,b\in R$ gilt:
$ab\in I\Longrightarrow a\in I \lor a\in I$.
\itemitem{\rm (ii)}
Sei $R$ kommutativer Ring mit Eins, $P$ Ideal von $R$, dann gilt
$$P \hbox{\rm \ \ Primideal}\iff R/P \hbox{\rm\ \  Integrit\"atsbereich}$$
\bigskip

\item{\bf 32.}
Sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins, $a,\,b,\,d\in R$, $d$ kein
Nullteiler. Wenn $d=\ggT(a,b)$ wobei $a=da'$, $b=db'$, dann gilt
$\ggT(a',b')=1$.
\bigskip

\item{\bf 33.}
Sei $R$ ein ZPE-Ring und $a,\,b,\,c\in R$. Wenn
$\ggT(a,b)=1$ und $a\divides bc$, dann folgt $a\divides c$.
\bigskip


\bye
