Algebra Übungen 3 WS 04/05

25. Sei R ein Ring. Für A, B ⊆ R sei AB = {a_{1}b_{1} + … + a_{n}b_{n} | n ∈ ℕ, a_{i} ∈ A, b_{i} ∈ B} und A + B = {a + b | a ∈ A, b ∈ B}. Sei a ∈ R, und A, B, C ⊆ R. Dann gilt (mit der Notation ⊴ für ,,ist Ideal von“):

(i) A + (B + C) = (A + B) + C

(ii) A(BC) = (AB)C

(iii) wenn A ⊴ R und B ⊴ R, dann auch A + B ⊴ R und AB ⊴ R

(iv) wenn A ⊴ R und R ein Einselement hat, dann gilt RA = AR = A

(v) B bzgl. + abgeschlossen ⟹ aB = {a·b | b ∈ B} und Ba = {b·a | b ∈ B}.

26. Sei R ein Ring, und A, B , B_{1} , …, B_{n} , C Teilmengen von R.

Wenn 0 ∈ B und 0 ∈ C , dann A(B +C) = AB +AC und (B +C)A = BA+CA.

Etwas allgemeiner gilt: wenn 0 ∈ B_{i} für 1 ≤ i ≤ n, dann

A(B_{1} + … + B_{n}) = AB_{1} + … + AB_{n} und (B_{1} + … + B_{n})A = B_{1}A + … + B_{n}A.

27. Geben Sie einen Isomorphismus an zwischen M_{n}(R[x]) , dem Ring der n×n Matrizen mir Eintragungen im Polynomring R[x] , und M_{n}(R)[x] , dem Polynomring in einer Unbestimmten mit Koeffizienten in M_{n}(R) . (Hiebei ist R ein kommutativer Ring mit Eins.)

28. Seien f, g und h Polynome in R[x] ( R ein kommutativer Ring mit Eins), davon f ein normiertes Polynom (d.h. mit Leitkoeffizient 1 ) sodaß f · g = h. Sei S ein Unterring von R. Zeigen Sie: wenn f und h in S[x] , dann auch g ∈ S[x] .

29. Sei R ein Euklidischer Ring, dessen Rangfunktion ρ(ab) ≥ ρ(a) (für a, b ∈ R mit ab ≠ 0 ) erfüllt. Zeigen Sie: u ∈ R ist Einheit genau dann, wenn u minimalen Rang hat (d.h. ρ(u) = min{ρ(a) | a ∈ R \ {0}}).

30. Sei D ein Integritätsbereich und kein Körper, dann ist D[x] kein Hauptidealring. (Betrachten Sie das Ideal jener Polynome, deren konstanter Term in I liegt, I ein nichttriviales Ideal von D.)

31. (i) Sei I ein Ideal von R, dann ist R/I ≠ (0) und nullteilerfrei genau dann, wenn I ≠ R und für alle a, b ∈ R gilt: ab ∈ I ⟹ a ∈ I ∨ a ∈ I .

(ii) Sei R kommutativer Ring mit Eins, P Ideal von R, dann gilt

P Primideal ⟺ R/P Integritätsbereich

32. Sei R ein kommutativer Ring mit Eins, a, b, d ∈ R, d kein Nullteiler. Wenn d = ggT(a, b) wobei a = da′ , b = db′ , dann gilt ggT(a′, b′) = 1 .

33. Sei R ein ZPE-Ring und a, b, c ∈ R. Wenn ggT(a, b) = 1 und a | bc, dann folgt a | c.