Algebra Übungen 2 WS 04/05

14. Sei f: G → H ein Gruppenhomomorphismus [bzw. Ringhomomorphismus], ≤ heisse Untergruppe [bzw. Unterring], ⊴ heisse Normalteiler [bzw. Ideal], dann gilt

(i) A ≤ G ⟹ f(A) ≤ H, (ii) B ⊴ G ⟹ f(B) ⊴ f(G) (aber B ⊴ G ≠⇒f(B) ⊴ H), (iii) K ≤ H ⟹ f^{−1}(K) ≤ G, (iv) M ⊴ H ⟹ f^{−1}(M) ⊴ G.

15. Sei R kommutativer Ring mit 1. Im Ring M_{n}(R) hat jedes Ideal die Form M_{n}(I) für ein Ideal I von R. (Hinweis: gegeben ein Ideal J von M_{n}(R), sei I das von allen Eintragungen in Matrizen in J erzeugte Ideal von R. Betrachten Sie weiters Produkte von Matrizen (von rechts und links) mit Matrixeinheiten wie e_{ij}, der Matrix, die an der Stelle (i, j) die Eintragung 1 hat, sonst nur 0.)

16. ℤ_{n} bezeichne die Gruppe (ℤ/nℤ, +). f: ℤ_{9} → ℤ_{3}, f(x+9ℤ) = x+3ℤ ist ein Gruppen-Epimorphismus, der keine Rechtsinverse, die Gruppen-Homomorphismus ist, hat.

17. g: ℤ_{3} → ℤ_{9}, g(x + 3ℤ) = 3x + 9ℤ ist ein Gruppen-Monomorphismus, der keine Linksinverse, die Gruppen-Homomorphismus ist, hat.

18. (i) Eine endliche Teilmenge H ≠ ∅ einer Gruppe G ist schon eine Untergruppe, wenn

nur a, b ∈ H ⇒ ab ∈ H. (ii) Für unendliche Teilmengen stimmt das nicht. (Finden Sie zusätzlich zu den in

Vorlesung und Skriptum genannten ein weiteres Gegenbeispiel).

19. Sei f: G → H ein Gruppenhomomorphismus, e_{G}, e_{H} das neutrale Element in G bzw.

H, dann gilt

f(e_{G}) = e_{H} und ∀a ∈ G f(a^{−1}) = (f(a))^{−1}.

Ausserdem gilt für jedes Element a von endlicher Ordnung |a| in G: die Ordnung von f(a) in H teilt |a|.

20. Seien f und g Gruppenhomomorphismen, f, g: G → H und A ⊆ G. Dann gilt (i) f(⟨A⟩) = ⟨f(A)⟩ (ii) Wenn ∀ a ∈A f(a) = g(a), dann ∀ b ∈ ⟨A⟩ f(b) = g(b). (Wie lautet das Analogon für Ringhomomorphismen?)

21. Für n ∈ ℕ bezeichne (C_{n}, ·) die zyklische Gruppe der Ordnung n. Bestimmen Sie (i) alle Gruppenhomomorphismen φ: C_{n} → C_{m} (ii) alle Automorphismen von C_{n}

22. Sei R ein Ring, a, b ∈ R. Dann gilt (ab) ⊆ (a)(b).

Wenn R kommutativ ist, dann gilt (ab) = (a)(b).

23. Welche der folgenden Gruppen sind zueinander isomorph? 1) (ℝ \ {0}, ·) 2) (ℝ, +) 3) S^{1} = ({z ∈ ℂ | |z| = 1}, ·) 4) ({r ∈ ℝ | r > 0}, ·) 5) (ℝ, +)/(ℤ, +)

24. Sei (G, ·) eine Gruppe und ≡ eine Kongruenzrelation auf G, dann ist die Klasse von e ein Normalteiler N ⊴ G, und es gilt: a ≡ b genau dann, wenn a^{−1}b ∈ N.