Algebra Übungen 1 WS04/05

1. Sei R ein kommutativer Ring mit 1. In dem Monoid (M_{n}(R), ·) der n × n Matrizen mit Eintragungen in R (bzgl. Matrizenmultiplikation) ist ein Element M genau dann invertierbar, wenn det(M) ein invertierbares Element von R ist.

2. Finden Sie möglichst viele Unterhalbgruppen des Monoids (ℤ, ·). Wieviele endliche Unterhalbgruppen gibt es? Haben alle Unterhalbgruppen, die Monoide sind, dasselbe neutrale Element wie (ℤ, ·)?

3. Seien X, Y nichtleere Mengen und f: X → Y eine Funktion. Eine Linksinverse von f ist eine Funktion g: Y → X mit g∘f = id_{X}; eine Rechtsinverse von f ist eine Funktion h: Y → X mit f ∘ h = id_{Y}.

(a) ∃ g: Y → X mit g ∘ f = id_{X} (d.h. f hat eine Linksinverse) ⟺ f ist injektiv.

(b) ∃ h: Y → X mit f ∘h = id_{Y} (d.h. f hat eine Rechtsinverse) ⟺ f ist surjektiv.

(c) Im Monoid (X^{X}, ∘) der Funktionen auf X sind die invertierbaren Elemente genau die bijektiven Funktionen.

4. Für nicht-leere Teilmengen A, B eines Monoids (H, ·) ist das Komplexprodukt von A

und B defniert als

AB = {a · b | a ∈ A, b ∈ B}

(Statt 1-elementiger Teilmengen schreibt man nur das entsprechende Element an, also aB statt {a}B.) Zeigen Sie, daß die nicht-leeren Teilmengen von H mit dieser Multiplikation ein Monoid bilden, und bestimmen Sie die invertierbaren Elemente in diesem Monoid.

5. Sei (H, ·) eine Halbgruppe. In der Menge der Worte über dem Alphabet H ∪ {(,), ·} sind die ,,Produkte“ induktiv definiert wie folgt:

(i) Jedes a ∈ H ist ein Produkt. (ii) Wenn P und Q Produkte sind, dann ist auch (P · Q) ein Produkt. Ein Produkt P heißt Produkt der Elemente a_{1}, … a_{n} ∈ H (in dieser Reihenfolge), wenn genau das Wort a_{1} … a_{n} überbleibt, wenn man alle Klammern und Multiplikationszeichen in P wegläßt. Jedes Produkt bezeichnet (durch Ausmultiplizieren) ein Element von H. Zeigen Sie, daß alle Produkte von a_{1}, … a_{n} (in dieser Reihenfolge) in H dasselbe Element bezeichnen. Tip: zeigen Sie, daß jedes Produkt von a_{1}, … a_{n} dasselbe Element ergibt wie das rechtsbündig geklammerte Produkt (a_{1} · (a_{2} · (. . .. . . (a_{n−2} · (a_{n−1} · a_{n}))...))).

6. Sei (H, ·) eine Halbgruppe [ein Monoid], a, b ∈ H, m, n ∈ ℕ, [m, n ∈ ℕ_{0}], dann gilt (a) a^{m} · a^{n} = a^{m+n}

(b) (a^{m})^{n} = a^{mn}

(b) a · b = b · a ⟹ (a · b)^{n} = a^{n} · b^{n} Formulieren Sie auch die analogen Regeln für additiv geschriebene Halbgruppen.

7. Sei R ein Ring; a heiße Links-Nullteiler, wenn ∃b ∈ R mit b ≠ 0 und a · b = 0. Dann ist für a ∈ R äquivalent:

(1) a ist links kürzbar (d.h. a · b = a · c ⇒ b = c)

(2) a ist kein Links-Nullteiler

(3) L_{a}: R → R, L_{a}(x) = a · x ist injektiv. (Analoges gilt für rechts.) Folgerung: ein Ring ist genau dann nullteilerfrei, wenn jedes Element (rechts und links) kürzbar ist.

8. Sei R ein kommutativer Ring.

(i) Wenn a ∈ R ein Nullteiler und b ∈ R beliebig, dann ist ab ein Nullteiler. (ii) Die Menge der Nicht-Nullteiler von R ist multiplikativ abgeschlossen, d.h., wenn

a kein Nullteiler und b kein Nullteiler, dann ist auch ab kein Nullteiler.

9. Sei (R, +, ·) ein Ring und a, b, c ∈ R. Zeigen Sie (i) 0 · a = 0 = a · 0 (ii) (−a) · b = −(a · b) = a · (−b) und (−a) · (−b) = a · b (iii) a · (b − c) = a · b − a · c und (a − b) · c = a · c − b · c

10. Sei (R, +, ·) ein Ring, a, b ∈ R, k ∈ ℕ_{0} und n, m ∈ ℤ. Zeigen Sie (i) (−a)^{k} = (−1)^{k}a^{k} (ii) (na) · (mb) = (n · m)(a · b) (Hier ist n · m das Produkt in ℤ.) (iii) Wenn R ein Einselement 1_{R} hat, dann ist na = (n1_{R}) · a = a · (n1_{R}).

11. Sei (G, ·) eine Halbgruppe mit einem Element e ∈ G, sodaß (1) ∀a ∈ G e · a = a (e ist linksneutrales Element) und

(2) ∀a ∈ G ∃a^{−1} ∈ G a^{−1} · a = e (jedes a hat ein Linksinverses), dann ist G eine Gruppe. (Mit rechtsneutralem Element und Rechtsinversen geht’s natürlich auch.)

12. Sei (H, ·) eine Halbgruppe, sodaß für alle a ∈ H sowohl L_{a}: H → H (L_{a}(x) = a · x) als auch R_{a}: H → H (R_{a}(x) = x · a) surjektiv sind, dann ist (H, ·) eine Gruppe.

13. Sei R ≠ {0} ein endlicher nullteilerfreier Ring. Dann ist R ein Schiefkörper. (Bemerkung: Tatsächlich ist — nach dem Satz von Wedderburn — R dann sogar ein Körper.)